En el presente tema se muestran los conceptos y resolución de los sistemas de primer orden, dicho tema es de gran relevancia en materias como Teoría de control y robótica, Dinámica de sistemas físicos e Ingeniería de control, debido a la importancia y aplicación que se tiene en el diseño de prácticamente cualquier tipo de sistemas.
Por ello, se inicia con la explicación de que es un sistema de primer orden, cómo debe ser modelado matemáticamente y qué metodología debe seguirse para su resolución.
Para lograr lo anterior, es necesario que el participante conozca los conceptos básicos de malla eléctrica, función de transferencia, suma de fracciones y transformada de Laplace.
Puedes apoyarte del siguiente enlace para consultar el formulario de la Transformada de Laplace.
Colmen. (2010). Respuesta al escalón de un sistema de primer orden con distintas ganancias. [imagen]. Tomada de: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:RespuestaEscalonK.jpg?uselang=es
Colmen. (2014). Gráfica que muestra una respuesta experimental de un sistema de primer orden a una entrada escalón. Tomado de: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Respuesta_al_escal%C3%B3n_de_sistema.jpg?uselang=es
Un sistema se puede definir como:
En ingeniería, existen diferentes tipos de sistemas entre ellos:
Estos sistemas son generalmente representados por ecuaciones diferenciales, las cuales, dependiendo de los elementos que los conformen, serán ecuaciones de diferentes órdenes, donde el orden de una ecuación diferencial está dada por el orden de la derivada más alta.
Ahora bien, un sistema de primer orden es:
A partir de la ecuación que representa al sistema, se puede obtener la función de transferencia del mismo, de la cual también podemos definir el orden de un sistema de la siguiente forma:
Como es bien sabido, este polinomio define el número de polos con los que el sistema trabaja. Los sistemas de primer orden se pueden analizar a partir de la respuesta temporal a cierto tipo de entradas, tales como el escalón, la rampa y el impulso unitario.
A continuación, veamos un ejemplo.
La ecuación característica de los sistemas de primer orden se muestra a continuación:
Donde a, b y c son los coeficientes del polinomio.
A esta ecuación le aplicamos la transformada de Laplace para simplificarla y así poder obtener la función de transferencia
Aplicando la transformada de Laplace a 1, tenemos:
Despejando 
y 
tal que 
Dividiendo todos los elementos de 3 entre b, tenemos:
Donde 
y 
.
De lo que podemos determinar la función de trasferencia:
Donde:
Ahora, para analizar su comportamiento, vamos a someter el sistema de la ecuación 5 a las entradas antes mencionadas.
Ahora bien, vamos a observar cómo se comporta un sistema de primer orden eléctrico en condiciones reales. Para los ejemplos siguientes se consideran condiciones iniciales definidos en cada uno de ellos, se utilizarán técnicas matemáticas como las fracciones parciales.
Además, se considerará la numeración de las ecuaciones de forma independiente para cada uno de ellos, es decir, la numeración de las ecuaciones se iniciará en 1 para cada caso.
Al tabular las ecuaciones de salida obtenidas en los ejemplos 1 y 2 (las cuales serán realizadas por el lector en cualquier software o hardware graficador), es posible observar que el tiempo de respuesta varía con respecto al tiempo, es decir, el momento en el que la señal deseada se estabiliza va a depender de los valores de los elementos modelados en el circuito. Este comportamiento es interesante, ya que es posible calcular exactamente el momento en el cual el sistema alcanza el valor deseado.
Hasta este momento, se han revisado los conceptos relacionados al tema tales como módulo, sistema de primer orden y orden de un sistema, así como la resolución de diferentes problemas utilizando los mismos, sin embargo, estos conceptos pueden ser vislumbrados desde una perspectiva computacional, la cual nos mostrará el comportamiento en función del tiempo de un sistema casi de forma inmediata.
En estos días donde las herramientas tecnológicas son de gran utilidad para el análisis de básicamente cualquier sistema ingenieril, es necesario conocer de ellas y cómo se comportan.
La UNAM ha logrado integrar a Matlab como un software gratuito para su comunidad, por ese motivo, vamos a utilizarlo para estas actividades de aprendizaje.
Utilizando los siguientes comandos, que representan el comportamiento del ejemplo 1, explica la gráfica que se presenta en Matlab, y define en qué momento el sistema se estabiliza. Escoge el par de gráficas correctas después de ingresar el código dado, y verifica su explicación.
NOTA: Cada una de las respuestas se compone de dos gráficas, una que es la gráfica pura, indicada con un .1), y la misma gráfica, pero en la que se muestran las coordenadas de estabilización del sistema, indicada con un .2).
Selecciona la opción con las gráficas correctas. Dispones de dos intentos por cada reactivo para realizar la actividad. Al finalizar podrás conocer tu desempeño.
Comandos:
Comandos:
Con base en la actividad de aprendizaje 1, modifica el código de Matlab para que represente el comportamiento del sistema dado en el ejemplo 2. De igual forma elige la explicación de la curva obtenida por medio de Matlab.
Recuerda realizar los ejercicios en tu cuaderno y luego elegir la respuesta correcta.
Selecciona la opción con las gráficas correctas. Dispones de dos intentos por cada reactivo para realizar la actividad. Al finalizar podrás conocer tu desempeño.
Has avanzado hasta este punto, lo que indica que estás por concluir este tema, la última prueba consiste en que logres identificar las ecuaciones que corresponden a cada uno de los comportamientos físicos que se han dado a lo largo de esta unidad de aprendizaje.
Arrastra los elementos de la columna del lado izquierdo al lugar que les corresponda en la columna del lado derecho. Dispones de dos intentos por cada reactivo para realizar la actividad. Al finalizar podrás conocer tu desempeño.
Fuentes de información
Ogata, K. (2010). Ingeniería de control moderna. Madrid: Pearson Educación.
Dorf, R. C., Bishop, R. H., Canto, S. D., Canto, R. D., & Dormido, S. (2011). Sistemas de control moderno. Madrid: Pearson Educación
Bolton, W. (2001). Ingeniería de control. México: Alfaomega.
Lewis, P. H., & Yang, C. (1999). Sistemas de control en ingeniería. Ciudad de México: Prentice Hall.
Nise, N. S. (2019). Control Systems Engineering. Estados Unidos: Wiley Global Education.
Cómo citar
Tinoco, D. y Rojas, I. (2021). Sistemas de primer orden. Unidades de Apoyo para el Aprendizaje. CUAIEED/SUAYED FESC-UNAM. Consultado el (fecha) de (vínculo)
