Resolución de funciones lógicas por medio de álgebra de Boole
Unidad de Apoyo para el Aprendizaje
IniciarResolución de funciones lógicas por medio de álgebra de Boole
Unidad de Apoyo para el Aprendizaje
IniciarEn este tema se presentan los conceptos básicos relacionados a compuertas lógicas (AND, OR, NOT) y como éstas son empleadas en la construcción de funciones booleanas para la representación y solución de diferentes problemas de ingeniería y electrónica digital.
Como punto central de esta unidad de aprendizaje, se tiene la reducción de las funciones previamente mencionadas, auxiliándonos para este fin del álgebra de Boole.
De forma colateral, se presentarán los teoremas fundamentales del álgebra de Boole y su utilización para la resolución de esquemas lógicos, es necesario mencionar que, en este escrito cada teorema está representado por una figura y color, cada que un teorema es utilizado dentro de una función, se muestra la figura y color para indicar su utilización.
Por ende, se espera que al finalizar el tema el alumno identifique las compuertas lógicas, sus representaciones en forma de funciones y la utilización de teoremas del álgebra de Boole para minimizarlas.
Elaboración Propia.
Fig. 1.- Esquema representativo de un circuito lógico, conformado por diferentes compuertas lógicas, su representación funcional y su tabla de verdad.
Altmann, G. (2014.). Sistema Binario. [imagen]. Tomada de: https://pixabay.com/es/illustrations/c%C3%B3digo-binario-binario-475664/
En la lógica binaria siempre vamos a trabajar con solo dos valores significativos que son 1 y 0, que pueden ser interpretados como, verdadero y falso y/o sí y no.
Ahora bien, las operaciones lógicas básicas son tres:
Estas operaciones tienen una representación simbólica, una función representativa y un comportamiento en una tabla de verdad.
A continuación, vamos a conocer sus características de cada una de ellas:
Compuerta AND
Las compuertas de lógica AND, también puede definirse como una multiplicación Booleana: Si el valor de todas las variables de entrada es 1, entonces el resultado en la salida será 1 lógico, por el contrario, si sólo alguna de las variables de entrada es igual a 0, la salida valdrá 0 lógico.
Compuerta lógica OR
Esta compuerta también se define como una suma Booleana: Siempre que una de las dos entradas tenga un valor igual a 1, la compuerta OR dará como resultado un 1 lógico, pero si todas las variables de entrada tienen el valor 0, la salida será un 0 lógico.
Compuerta lógica NOT
La compuerta lógica NOT, también se define como negación Booleana: Cualquiera que sea el valor en la entrada de la compuerta, 1 ó 0, la salida será lo contrario a esta. Cabe mencionar que solo es posible tener una entrada.
Por medio de la combinación de estas operaciones, es posible realizar comportamientos lógicos más complejos, generando funciones booleanas o lógicas. Dentro de estas funciones podemos mencionar nuevamente que las compuertas AND y OR tienen similitud con la suma y la multiplicación, y la manera de resolverlas sigue un mismo patrón de importancia similar al dado en funciones aritméticas, la ley conmutativa de la suma, la multiplicación y la ley distributiva forman parte de las leyes que rigen las operaciones booleanas.
Cuando se tienen funciones booleanas complejas, es decir, con una combinación de diferentes compuertas lógicas, estas funciones pueden ser simplificadas por medio de álgebra de Boole, para lo cual, al igual que en álgebra clásica, se utiliza un conjunto de teoremas para realizar la simplificación de la expresión generada.
Los teoremas de Boole son siempre verdaderos, es decir, son axiomas que no necesitan prueba, se enlistan en pares porque cada ley válida tiene una dualidad entre 0 y 1 y/o + y ⋅ (más y multiplicación).
Con estos teoremas facilitamos el análisis y obtenemos una reducción de los circuitos digitales.
En la Tabla 1, se muestra una lista con los teoremas utilizados y su dual.
A continuación, se muestran algunos ejemplos en donde puedes valorar la utilidad de los teoremas antes mencionados y su aplicación.
NOTA: A partir de aquí, cada vez que se utilice un teorema dentro del proceso de simplificación de una función, este será indicado con su respectivo color y figura. Esto se realizará con la intención de mostrar en qué puntos se puede utilizar cada uno de los teoremas presentados.
Podemos obtener las tablas de verdad de los resultados obtenidos en cada uno de los casos calculados en la página https://www.dcode.fr/boolean-truth-table y de esta forma verificar su igualdad lógica.
Al llegar hasta este punto, esperamos que te sientas seguro de los conocimientos adquiridos y que estés listo para poder enfrentarte a problemas booleanos de la mejor manera.
Como ya vimos, el álgebra booleana y sus teoremas, son de gran utilidad para la reducción de funciones lógicas, para evitar redundancias dentro de un circuito y hacer más eficiente el uso de espacio, y el coste económico, ya que el uso de menos compuertas implica un gasto menor en elementos electrónicos encapsulados.
Ahora, vamos a continuar con los ejercicios para que practiques lo aprendido, adelante.
A partir de la revisión del tema y haciendo uso de los teoremas lógicos de la tabla 1, resuelve los siguientes ejercicios.
Recuerda que debes realizar tu actividad en tu cuaderno y posteriormente seleccionar la respuesta correcta.
Ahora es momento de realizar la segunda actividad de aprendizaje.
Presta atención a la siguiente función, resuelve en tu cuaderno y elige la respuesta correcta.
¡Adelante!
Fuentes de información
Floyd Thomas, L. (2010). Fundamentos de sistemas digitales. 9na. Ed., Pearson educación.
Mano, M. M. (2003). Diseño digital. Pearson Educación.
Tocci, R. J., & Widmer, N. S. (2003). Sistemas digitales: principios y aplicaciones. Pearson Educación.
Bibliografía complementaria
Martínez, I. A., Zubía, J. G., & Usategui, J. M. A. (2007). Sistemas digitales y tecnología de computadores. Editorial Paraninfo.
Cómo citar
Tinoco, D. y Cabrera, A. (2021). Resolución de funciones lógicas por medio de álgebra de Boole. Unidades de Apoyo para el Aprendizaje. CUAIEED/SUAYED FESC-UNAM. Consultado el (fecha) de (vínculo)
