La importancia de las cantidades vectoriales y la manera en que se manejan ha sido fundamental para que el ser humano haya podido llegar a ser lo que es hoy, lo que ha logrado, lo que ha construido (puentes, edificios, trenes de alta velocidad, entre otros), así como visitar lugares fuera de la tierra mediante naves espaciales tripuladas (luna) y no tripuladas, como las naves Voyager 1 y 2 que visitaron los planetas exteriores del sistema solar, o la nave espacial Juno, la cual se encuentra activa orbitando el planeta más grande del sistema, júpiter.
Todo esto y más se debe al estudio de las cantidades vectoriales y el modelo matemático que las representa, mismo que conocemos como vectores, de ahí la importancia de conocerlos, manejarlos y realizar operaciones matemáticas con ellos, como la suma y la multiplicación.
También puedes visitar los sitios siguientes donde podrás apreciar lo comentado.
S.A. (1981). An artists concept of the NATO Defense Satellite Communications System II satellite in orbit, with the earth in the background. [Imagen]. Tomada de: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1c/An_artists_concept_of_the_NATO_Defense_Satellite_Communications_System_II_satellite_in_orbit.jpg
Para iniciar el tema vamos a revisar los conceptos de las cantidades o magnitudes, éstas se clasifican en:
Son cantidades que pueden ser especificadas por un número y una unidad.
Ejemplos: la distancia (m, ft), volumen (m3, ft3.), masa (kg.), tiempo (seg.).
Son cantidades que pueden ser especificadas por una magnitud y dirección, consta de un número, una unidad y una dirección.
Ejemplos: Desplazamiento 30m, norte (m, ft), velocidad (m/s, ft/s), aceleración (m/s2, ft/s2), campo eléctrico (Coulomb), campo magnético (Tesla).
Una vez definidas las características de las cantidades vectoriales, podemos pasar al siguiente tema para ver su representación gráfica.
Hibbeler (2010), señala que:
Veamos una ilustración para ubicar los términos:
Figura 1. Representación de un vector.
Como ejemplo de cantidades vectoriales que se manejan en estática encontramos:
Conociendo la representación gráfica de los vectores y sabiendo el significado de cada una de sus partes podemos ahora clasificarlos.
La clasificación de los vectores se divide en tres partes:
Veamos cuales competen a cada uno de éstos:
Figura 2. Vectores Paralelos
Paralelos: Son los vectores en donde las líneas de acción están paralelas una de la otra, nunca se cruzan entre sí.
Figura 3. Vectores concurrentes
Concurrentes: Son los vectores en donde las líneas de acción de los mismos se encuentran en el mismo punto.
Figura 4. Vectores colineales
Colineales: Son los vectores que tienen la misma línea de acción, se dice que tienen la misma dirección.
Figura 5. Vectores fijos
Fijos: Se le conoce como vector fijo a aquel cuyas coordenadas de origen tienen una razón de ser, por lo que, al cambiar el punto de origen, el vector y sus efectos cambiarán; el vector de posición es un ejemplo de vector fijo.
Nota: El vector 
dibujado en el mapa, define la posición del auditorio “Jaime Keller Torres” respecto a la biblioteca de la Facultad de Estudios Superiores Cuautitlán.
Deslizantes: Un vector deslizante se caracteriza por mantener sus propiedades a pesar de que su origen sea trasladado a lo largo de su línea de acción, es decir, que puede cambiar su punto de aplicación. El vector de fuerza es un ejemplo de vector deslizante, cumple con el principio de transmisibilidad.
Nota: El vector 
(vector deslizante) aplicado en dos puntos diferentes, mismo efecto.
Figura 6. Vectores deslizantes
Libres: Un vector libre es aquel que no cuenta con un punto de origen definido, por lo que se puede representar gráficamente en cualquier punto del cuerpo sólido sin que altere el resultado.
Dentro de la clasificación de los vectores, resta sólo conocer en base al número de dimensiones, los cuales son:
Unidimensional: Son aquellos que siguen la dirección y sentido de una recta, actuando en la misma línea de acción.
Figura 7. Vectores unidimensionales
Nota: Los vectores 
tienen la misma dirección y línea de acción, son unidimensionales.
Bidimensional: Es un sistema de fuerzas en donde las líneas de acción de las fuerzas están contenidas en un mismo plano.
Figura 8. Vectores bidimensionales
Nota: Los vectores 
se encuentran actuando en el plano superior.
Tridimensional: Son las que se dan en el espacio.
Figura 9. Vectores tridimensionales
El orden en el que se presentó el contenido representa la dificultad para poder sumar vectores, siendo el unidimensional la forma más sencilla y el tridimensional la más compleja, para este caso, es de mucha utilidad conocer los vectores unitarios, tema del cual hablaremos a continuación.
El uso de vectores unitarios hace que sea más sencilla la suma de vectores tridimensionales.
A continuación, veamos sus características:
Los vectores unitarios 
son mutuamente perpendiculares, establecen las direcciones de los ejes 
respectivamente de un sistema cartesiano.
Figura 10. Vectores unitarios
Los vectores denotan la dirección de los ejes .
Es importante identificar las diferentes clasificaciones de los vectores, con esto podemos conocer una cantidad vectorial como es la fuerza.
Iniciemos este tema revisando el concepto de fuerza.
Figura 11. Representación gráfica de un vector de fuerza
Ahora que ya identificaste el concepto de fuerza, es importante conocer sus clasificaciones, tema del que hablaremos a continuación.
La clasificación de las fuerzas responde a:
Fuerza activa: Activa es la fuerza que ejerce un cuerpo A sobre un cuerpo B.
Fuerza reactiva: Reactiva es la fuerza de reacción que ejerce el cuerpo B sobre el cuerpo A de igual magnitud, pero sentido contrario.
Figura 12. Se muestran las fuerzas activas y reactivas que actúan en los cuerpos A y B.
Fuerza de contacto: Es aquella fuerza que implica el contacto entre dos cuerpos.
Figura 13. Fuerza a distancia: Los imanes resienten atracción entre ellos sin estar en contacto
Fuerza a distancia: Es aquella en la que los cuerpos se someten a fuerzas en donde no hay contacto entre ellos. La fuerza de gravedad, la fuerza magnética o la fuerza eléctrica son algunos ejemplos de ello.
Figura 14. Se muestran las fuerzas activas y reactivas que actúan en los cuerpos A y B
Fuerzas distribuidas: Todas las fuerzas de contacto se hallan aplicadas a una superficie de área finita, se distribuyen a lo largo y ancho del área, el área de contacto no se desprecia.
Fuerzas concentradas: Representa el efecto de una fuerza que se supone, actúa en un punto ideal de un cuerpo, el centro de gravedad es un ejemplo del punto ideal donde se concentra el peso de todo cuerpo.
Figura 15. Sistema de Fuerzas (peso) distribuidas actuando en diferentes puntos. (b) Fuerza concentrada actúa en un punto G (centro de gravedad).
Fuerza externa: Son las fuerzas a las que se somete un cuerpo por otro cuerpo diferente.
Fuerza interna: Son fuerzas que se equilibran entre sí, se forman en pares colineales de la misma magnitud, pero en sentido contrario.
Figura 16. Ejemplo de fuerzas internas generadas en un elemento de una armadura.
Hibbeler, R. C; Murrieta, J. E. M., & De Jesús Hidalgo Cavazos, F. (2010). Ejemplo de fuerzas internas generadas en un elemento de una armadura. [imagen]. Tomada de Ingeniería mecánica: Estática. México: Pearson Educación de México.
La identificación de las fuerzas que actúan en un cuerpo nos brinda apoyo para encontrar la fuerza resultante.
La revisión de este último tema será dividida por apartados, ello te dará la oportunidad de analizar cada uno de estos casos.
Figura 17. Suma de vectores colineales
Figura 18. Ley del triángulo para suma de vectores, cumple con la ley conmutativa
Figura 19. Ley del paralelogramo para suma de vectores
Existen dos métodos de sumar cualquier tipo de vectores:
Los vectores componentes son nuevos vectores que se proyectan sobre un sistema de ejes, mismos que puede ser o no del tipo rectangular, estos vectores se originan de un vector original dado, tienen la característica de que al sumarlos el resultado obtenido es el vector original; puede haber n cantidades de vectores componentes.
Figura 20. Vectores componentes en un sistema no rectangular
Los vectores componentes rectangulares son nuevos vectores que tienen la característica de ser mutuamente perpendiculares.
Figura 21. Vectores componentes rectangulares de
Conociendo la magnitud del vector y su dirección 
. Las magnitudes de los vectores componentes rectangulares 
y 
se obtienen mediante las funciones trigonométricas seno y coseno, debido a que se forma un triángulo rectángulo al sumar los vectores componentes.
Figura 22. Cálculo de las componentes rectangulares y del vector
O conociendo el ángulo 
, que es el ángulo complementario de .
Figura 23. Cálculo de las componentes rectangulares y del vector , ángulo complementario
Sean los vectores , la suma de los tres vectores dará un nuevo vector llamado vector resultante 
, el cual, por sí solo tendrá el mismo efecto que los tres en conjunto, para obtener el vector resultante sigamos los siguientes pasos.
Figura 24. Sistema de vectores
Dibujar los vectores en un sistema coordenado.
Figura 25. Suma de vectores
Para encontrar los vectores componentes rectangulares de los vectores, trazar líneas paralelas de cada eje a partir de la punta de cada vector.
Figura 26. Suma de vectores
Trazar los vectores componentes colineales a los ejes del sistema cartesiano a partir del origen a los cruces de los de las líneas paralelas del punto anterior. Este nuevo sistema de 6 fuerzas es equivalente al anterior de 3, genera el mismo efecto y, por tanto, la suma de estos nuevos 6 vectores da como resultado un vector.
Figura 27. Suma de vectores
Sumar los vectores colineales en los ejes "x" e "y", este dará un nuevo sistema de dos nuevos vectores, el cual será equivalente al anterior sistema de 6 y también será equivalente al sistema original de 3.
Figura 28. Suma de vectores
y 
representan las componentes rectangulares del vector resultante
Figura 29. Suma de vectores
Sumar las componentes rectangulares y dará como resultado el vector el cuál es el producto de sumar los tres vectores originales .
Figura 30. Suma de vectores
El vector resultante se puede expresar de dos maneas:
Figura 31. Triángulo vector resultante
Para obtener la magnitud del vector resultante usamos el teorema de pitágoras.
y la dirección se obtiene con la función tangente:
El método más usado en la suma de cantidades vectoriales es por composición de vectores, mismo que, para poder dominarlo, es necesario resolver una gran cantidad de ejercicios.
Las cantidades vectoriales son parte de los temas de varias asignaturas de las carreras de ingeniería en los diferentes planes de estudio, por lo que es de suma importancia dominar la forma en que se debe realizar. Como te habrás percatado, es necesario el uso de vectores para encontrar la resultante de sumar dos o más cantidades vectoriales, estos temas son principales en las asignaturas de estática y dinámica.
Finalmente, te invito a realizar los ejercicios propuestos para poner a prueba tu aprendizaje.
Como recordarás, la suma de vectores nos permite encontrar la fuerza resultante y se apoya del método analítico.
A continuación, revisa el siguiente caso sobre dos vectores de fuerza que actúan sobre una armella, la cual debe soportar una fuerza total.
Determina la magnitud de la fuerza resultante y la dirección de un par de fuerzas que actúan sobre la armella.
Como actividad final, pondrás a prueba tus conocimientos sobre los vectores y su implicación en la resultante de un sistema de fuerza en dos dimensiones.
A continuación, se te presentan una serie de enunciados, elige la respuesta correcta a cada reactivo y pulsa enviar para conocer la respuesta.
Para iniciar el ejercicio pulsa Comenzar
Fuentes de información
Hibbeler, R. C; Murrieta, J. E. M., & De Jesús Hidalgo Cavazos, F. (2010). Ingeniería mecánica: Estática. México: Pearson Educación de México.
Bibliografía complementaria
Beer, P.B; Jhonston, E. R. J; & Mazurek, D.F.M. (2017). (11a ed) Mecánica vectorial para ingenieros Estática. Mexico: Mc Graw Hill.
Cómo citar
Reyes, R.; Sanchez, Y.; Castillo, J. y Olvera, M. (2021). Resultante de un sistema de fuerza en dos dimensiones. Unidades de Apoyo para el Aprendizaje. CUAIEED/SUAYED FESC-UNAM. Consultado el (fecha) de (vínculo)
