Modelado de sistemas eléctricos y funciones de transferencia
Unidad de Apoyo para el Aprendizaje
IniciarModelado de sistemas eléctricos y funciones de transferencia
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IniciarSe presenta el modelado matemático de sistemas eléctricos y la manera de obtener la función de transferencia que representa a este tipo de sistemas, mismo que es de gran importancia en materias como dinámica de sistemas físicos y teoría de control y robótica. En esta última asignatura se presenta como un tema primario, ya que, a partir de la función de transferencia de un sistema, se logran calcular las características del sistema modelado. El método mostrado se basa en la obtención de las ecuaciones de mallas que representan a cualquier circuito eléctrico.
Previamente el alumno debe conocer los temas de análisis de mallas, álgebra básica y transformada de Laplace.
Tinoco, D. Fotografía.
Antes de poder hablar del tema modelado de sistemas, es necesario dar los conceptos básicos relacionados a este tema.
Existen dos tipos de sistemas:
En este caso, la salida del sistema no va a afectar al elemento de control, es decir, no existe una comparación entre las señales de la salida con respecto a las señales de entrada. Por este motivo la operación y precisión de este tipo de sistemas va a depender completamente de la calibración del mismo. Si existen perturbaciones en la ejecución, el sistema no realiza corrección de estos fallos, sin embargo, son sistemas económicos. La figura 2, muestra un sistema de lazo abierto.
Tinoco, D. (2019). (Figura 2). Modelo de un sistema de control en lazo abierto.
En este tipo de sistemas, existe una comparación de la señal de salida con respecto a la señal de entrada, mediante esta realimentación el sistema corregirá posibles fallas durante la ejecución del sistema, logrando que el sistema se acerque al valor deseado, el esquema básico de estos sistemas puede verse en la figura 3.
Tinoco, D. (2019). (Figura 3). Modelo de un sistema de control en lazo cerrado (con realimentación).
Con el objetivo de entender y controlar sistemas complejos, debemos obtener el modelo y representación matemática de cada sistema a analizar. Existen diferentes tipos de modelos, tales como mecánicos, térmicos y eléctricos, nosotros prestaremos atención a estos últimos.
Las ecuaciones que describen a este tipo de sistemas son generalmente ecuaciones diferenciales. Por lo que una forma sencilla de trabajar con ellas es convertirlas en ecuaciones lineales, para lo cual utilizaremos la transformada de Laplace. Siendo importante su representación matemática, para así obtener la función de transferencia que represente a cada sistema, la función de transferencia es la relación existente entre la salida del sistema con respecto a la entrada, es decir, 
Ejemplo 1. Obtener la función de transferencia correspondiente al siguiente circuito eléctrico:
Tinoco, D. (2019). Imagen.
Primero que nada, definimos las representaciones de voltaje correspondientes a cada uno de los elementos que componen el circuito:
Ahora, se define la ecuación que identifica a la malla del circuito por medio de la ley de voltaje de Kirchhoff (El análisis de mallas, y nodos puede verse en [1]), obteniendo:
Sustituimos estos voltajes con sus representaciones correspondientes, obteniendo:
Calculamos la ecuación que representa el voltaje de salida Vs(t)
Sustituyendo estos voltajes por sus representaciones, obteniendo:
Recordemos que es necesario obtener la función de transferencia, mediante Para este fin aplicamos la transformada de Laplace en las ecuaciones (1) y (2), obteniendo:
Calculamos con (1) y (2), obteniendo:
Factorizando 
del numerador y el denominador de (3), obteniendo (4):
Simplificando por medio de suma de fracciones:
Quedando la función de transferencia del sistema:
Ejemplo 2. Obtener la función de transferencia correspondiente al siguiente circuito eléctrico:
Tinoco, D. (2019). Imagen.
En este caso, vemos un circuito de dos mallas eléctricas, la primera malla que comprende a la fuente Ve, la resistencia R y la inductancia L; y la segunda malla que comprende la inductancia L y el capacitor.
De este sistema obtenemos las ecuaciones representativas de la malla 1, la malla 2 y el voltaje de salida Vs:
Aplicando la transformada de Laplace en (1), (2) y (3), obteniendo (1a), (2a) y (3a) respectivamente:
Despejando 
de (2a):
Sustituimos (4) en (1a)
Simplificando (5) por medio de suma de fracciones y “Ley del sándwich”, obtenemos:
Calculamos
De esta forma, obteniendo ∆
Indicaciones: Obtener la función de transferencia correspondiente al siguiente circuito eléctrico:
Obteniendo las ecuaciones que representan al circuito:
A lo largo de esta unidad se abordó el tema de modelado de sistemas eléctricos y funciones de transferencia.
Ahora es momento de que pongas a prueba lo aprendido. Elige la opción que conteste correctamente el circuito presentado. Al finalizar, consulta tu desempeño.
Fuentes de información
[1] Introducción al análisis de circuitos. Boylestad, R. L. (2004). Pearson Educación
[2] Sistemas automáticos de control. Teoría y práctica. C. Dorf Richard. Fondo educativo interamericano S.A. Segunda edición.
[3] Ingeniería de control moderna. Katsuhiko Ogata. Prentice Hall Pearson. Quinta edición.
Bibliografía complementaria
[4] Sistemas de Control Automático. Benjamin C. Kuo, Prentice Hall, Pearson. Séptima edición.
Cómo citar
Tinoco, D. y Rojas, I. (2021). Modelado de sistemas eléctricos y funciones de transferencia. Unidades de Apoyo para el Aprendizaje. CUAIEED/SUAYED FESC-UNAM. Consultado el (fecha) de (vínculo)
